Wer zwei FFT-Spektren mit unterschiedlicher Frame-Länge oder unterschiedlichem Fenster vergleicht, vergleicht Äpfel mit Birnen. Das Leistungsdichtespektrum (Power Spectral Density, PSD) löst dieses Problem: es normiert die spektrale Energie auf 1 Hz Bandbreite und macht damit Messungen unter unterschiedlichen Bedingungen vergleichbar.

Vom Energiespektrum zur Leistungsdichte

Die FFT liefert komplexe Werte X(k). Das einseitige Energiespektrum ist:

Sxx(k) = (1 / (fs · N · U)) · |X(k)|2 (für 0 < k < N/2)

Wobei U die Fensterleistungskorrektur ist:

U = (1 / N) · Σn=0N−1 w(n)2

Die Einheit von Sxx ist (Signaleinheit)² / Hz, z. B. (m/s²)²/Hz bei Beschleunigung. Damit ist die PSD eine Energiedichte – integriert über ein Frequenzband ergibt sich die Energie in diesem Band.

Das Parseval-Theorem

Eine fundamentale Beziehung verbindet Zeit- und Frequenzbereich:

Σn=0N−1 |x(n)|2 = (1 / N) · Σk=0N−1 |X(k)|2

Energie ist eine Erhaltungsgröße – sie verteilt sich nur um, geht aber nicht verloren. Diese Eigenschaft macht die PSD zu einer ehrlichen Größe: Wer im Spektrum aufintegriert, erhält dieselbe Gesamtenergie wie im Zeitbereich.

Die Welch-Methode

Eine einzelne FFT ist eine verrauschte Schätzung. Wer mehrere FFTs über aufeinanderfolgende (oder überlappende) Frames mittelt, reduziert das Schätzrauschen erheblich – das ist die Idee von Welch (1967).

  1. Signal in M überlappende Frames der Länge N teilen (typ. 50 % Overlap).
  2. Jedes Frame fenstern und FFT bilden.
  3. Betragsquadrate berechnen.
  4. Über alle M Frames mitteln.

Das Ergebnis ist eine glattere PSD-Schätzung mit reduziertem Rauschen. Die Frequenzauflösung bleibt durch die Frame-Länge bestimmt; die Statistik wird besser.

PSD vs. Amplitudenspektrum – wann was?

AuswertungWann verwenden
Amplitudenspektrumdiskrete tonale Komponenten quantifizieren (z. B. Ordnungen)
EnergiespektrumEnergie pro Bin (selten, meist als Zwischenschritt)
Leistungsdichtespektrum (PSD)breitbandige stochastische Signale (Lager, Strömung, Reibung)

Faustregel: Tonale Anteile → Amplitudenspektrum. Rauschartige Anteile → PSD.

Anwendung: Lager-Monitoring

Ein gesundes Wälzlager produziert breitbandiges Hintergrundrauschen mit charakteristischem PSD-Verlauf. Beginnender Schaden erhöht die PSD-Energie typischerweise im Bereich der Käfig-Eigenfrequenz oder der Roller-Pass-Frequenz – aber als Anhebung über mehrere Frequenzbänder, nicht als scharfe Linie. Genau dafür ist die PSD optimal.

SonicTC.DSP nutzt die Welch-PSD als Standard-Auswertung im Condition Monitoring – mit adaptiven Schwellen pro Frequenzband.

Was Sie sich merken sollten

  1. PSD ist die richtige Größe für stochastische und breitbandige Signale.
  2. Die Welch-Methode reduziert Schätzrauschen ohne Auflösungsverlust.
  3. Eine PSD ist über die Frame-Länge hinweg vergleichbar – ein klassisches FFT-Spektrum nicht.